【测5】一项工作，若$B$、$C$、$D$合作需7.5小时完成，$A$、$B$、$D$合作需5小时完成，$B$、$D$、$E$合作需6小时完成，$A$、$C$、$E$合作需4小时完成．那么$A$、$B$、$C$、$D$、$E$五人合作需 ___ 小时完成．

1. 设工作总量为1，求出各组合每小时的工作效率

设工作总量为 $1$，$A, B, C, D, E$ 每小时的工作效率分别为 $a, b, c, d, e$。
由题意可得：
$b + c + d = \frac{1}{7.5} = \frac{2}{15}$
$a + b + d = \frac{1}{5}$
$b + d + e = \frac{1}{6}$
$a + c + e = \frac{1}{4}$

2. 通过方程叠加与代换求出 $B+D$ 的效率及五人合作的总效率

将前三式相加，可得：
$(b + c + d) + (a + b + d) + (b + d + e) = \frac{2}{15} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}$
$(a + c + e) + 3(b + d) = \frac{4 + 6 + 5}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$

将第四式 $a + c + e = \frac{1}{4}$ 代入上式中：
$\frac{1}{4} + 3(b + d) = \frac{1}{2}$
$3(b + d) = \frac{1}{4} \implies b + d = \frac{1}{12}$

所以五人合作的效率之和为：
$a + b + c + d + e = (a + c + e) + (b + d) = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

3. 计算五人合作完成工作所需的时间

五人合作所需时间为：
$1 \div \frac{1}{3} = 3 \text{ 小时}$