一共有 5 个小队，某工程如果由第一、二、三小队合干需要 12 天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要 7 天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要 8 天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要 42 天才能完成. 那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？

1. 设工作总量为 1，列出各个小队组合的工作效率

设这项工程的总工作量为 $1$，设第 $i$ 个小队每天的工作效率为 $v_i$ ($i=1,2,3,4,5$)。
根据题意可得各组合的工作效率：

• 第一、二、三小队：$v_1 + v_2 + v_3 = \dfrac{1}{12}$
• 第一、三、五小队：$v_1 + v_3 + v_5 = \dfrac{1}{7}$
• 第二、四、五小队：$v_2 + v_4 + v_5 = \dfrac{1}{8}$
• 第一、三、四小队：$v_1 + v_3 + v_4 = \dfrac{1}{42}$

2. 将第一与第三小队视为整体，求出第一、三小队的效率之和

注意到第一小队与第三小队总是作为一个整体 $(v_1 + v_3)$ 出现。
将第 1、2、4 个方程相加：
$(v_1 + v_2 + v_3) + (v_1 + v_3 + v_5) + (v_1 + v_3 + v_4) = 3(v_1 + v_3) + (v_2 + v_4 + v_5)$
代入已知数值：
$\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{42} = 3(v_1 + v_3) + \dfrac{1}{8}$
先计算等式左边：
$\dfrac{1}{12} + \left(\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{42}\right) = \dfrac{1}{12} + \dfrac{7}{42} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{4}$
代回方程求解 $v_1 + v_3$：
$\dfrac{1}{4} = 3(v_1 + v_3) + \dfrac{1}{8} \implies 3(v_1 + v_3) = \dfrac{1}{8} \implies v_1 + v_3 = \dfrac{1}{24}$

3. 计算五个小队合作的总效率及完成工程所需的天数

五个小队一起合干的总工作效率为：
$v_1 + v_2 + v_3 + v_4 + v_5 = (v_1 + v_3) + (v_2 + v_4 + v_5) = \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{6}$
因此，五个小队一起合干需要的时间为：
$1 \div \dfrac{1}{6} = 6 \text{（天）}$