将 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 6 个数字分成两组，每组 3 个数字。若其中一组三个数字的乘积是另一组三个数字乘积的倍数，那么共有 ___ 种不同的分法。

1. 分析所有数的乘积及其素因数分解，确定整除的必要条件

这 $6$ 个数字的总乘积为：
$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720 = 2^4 \times 3^2 \times 5^1$
将这 $6$ 个数字分成每组 $3$ 个数字的两组，不同的无序划分总数为 $\dfrac{\binom{6}{3}}{2} = 10$ 种。
设这两组分别为 $A$ 和 $B$，其元素乘积分别为 $P_A$ 和 $P_B$。不妨设 $P_A$ 是 $P_B$ 的倍数。
因为总乘积中素因数 $5$ 的幂次为 $1$（仅数字 $5$ 含有因数 $5$），若 $5 \in B$，则 $P_B$ 含有因数 $5$，而 $P_A$ 不含因数 $5$，不可能成为 $P_B$ 的倍数。
因此，数字 $5$ 必须在乘积较大的组 $A$ 中，即 $5 \in A$，$5 \notin B$。

2. 确定较小组 $B$ 所需满足的素因数幂次条件

因为 $5 \in A$，组 $B$ 的 $3$ 个数字必选自 $\{1, 2, 3, 4, 6\}$，共 $\binom{5}{3} = 10$ 种可能组合。
要使 $P_A$ 是 $P_B$ 的倍数，则 $P_B$ 的素因数 $2$ 和 $3$ 的次数必须不超过总次数的一半：

• 素因数 $2$ 的总次数为 $4$（来自 $2, 4, 6$），故要求 $v_2(P_B) \le 2$；
• 素因数 $3$ 的总次数为 $2$（来自 $3, 6$），故要求 $v_3(P_B) \le 1$。

3. 列举检验所有组合，得出符合条件的分法总数

对从 $\{1, 2, 3, 4, 6\}$ 中选出 $3$ 个数构成组 $B$ 的所有情况进行检验：

1. 若组 $B$ 不包含 $4$，即从 $\{1, 2, 3, 6\}$ 中选 $3$ 个：
   • $\{1, 2, 3\}$：$P_B = 6$，$P_A = 4 \times 5 \times 6 = 120$。$120 \div 6 = 20$，满足；
   • $\{1, 2, 6\}$：$P_B = 12$，$P_A = 3 \times 4 \times 5 = 60$。$60 \div 12 = 5$，满足；
   • $\{1, 3, 6\}$：$v_3(P_B) = 2 > 1$（$P_B = 18$），不满足；
   • $\{2, 3, 6\}$：$v_3(P_B) = 2 > 1$（$P_B = 36$），不满足。
2. 若组 $B$ 包含 $4$，由于 $4 = 2^2$ 已提供 $2$ 次方，其余两数不能再含有因数 $2$（否则 $v_2(P_B) \ge 3$），且不能同时包含 $3$ 和 $6$：
   • 剩余两数只能从不含因数 $2$ 的数中挑选，即只能选 $\{1, 3\}$，此时 $B = \{1, 3, 4\}$；
   • 验证 $\{1, 3, 4\}$：$P_B = 12$，$P_A = 2 \times 5 \times 6 = 60$。$60 \div 12 = 5$，满足；
   • 其他含 $4$ 的组合均使得 $v_2(P_B) \ge 3$，均不满足。

综上，满足条件的分法共有 $2 + 1 = 3$ 种。