数学知识点English

收敛域

标准级数收敛的 xx 值范围。

这个知识点的练习题

  1. 1第一部分：纯粹数学 1 (a) 证明 11+x2−1−x2=12x2(1+x2+1−x2).\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}}=\dfrac{1}{2x^{2}}\big(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}\big).…
  2. 2将 5+x2(2+x)(1−x)2\dfrac{5 + x^2}{(2 + x)(1 - x)^2} 表示为 A(2+x)+B(1−x)2\dfrac{A}{(2 + x)} + \dfrac{B}{(1 - x)^2} 的形式，其中 AA 和 BB 为待求常数。 由此，将 5+x2(2+x)(1−x)2\dfrac{5 + x^2}{(2 + x)(1 - x)^2}…
  3. 3已知 f(x)=ln⁡(1+2x2)\mathrm{f}(x) = \ln(1 + 2x^2)。 多项式 p(x)=ax2+bx+cp(x) = ax^2 + bx + c 用于在 1≤x≤21 \le x \le 2 内近似 f(x)\mathrm{f}(x)。已知 p(1)=f(1)p(1) = \mathrm{f}(1)…
  4. 4TMJC JC1 Promo 9758/2019/Q6 已知 y=ln⁡(2−e2x)y = \ln\left(2 - e^{2x}\right)，其中 x<12ln⁡2x < \tfrac{1}{2}\ln 2，证明 ey[d2ydx2+(dydx)2]=−4e2x.e^y\left[\frac{d^2 y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right] = -4e^{2x}.…
  5. 5第一部分：纯粹数学 1 (a) 证明 11+x2−1−x2=12x2(1+x2+1−x2)\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{1}{2x^{2}}\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}\right)…
  6. 6将 1−x21+3x3\dfrac{1 - x^2}{\sqrt[3]{1 + 3x}} 展开为 xx 的升幂级数，展开到包含 x3x^3 项为止。 (ii) 写出该级数展开式成立的 xx 的取值集合。 (iii) 写出曲线 y=1−x21+3x3y = \dfrac{1 - x^2}{\sqrt[3]{1 + 3x}}…
  7. 7数列 xnx_{n} 满足关系式 xn+1=13(2xn+1xn2),n∈N+∪{0},0<x0<1.x_{n+1}=\tfrac{1}{3}\left(2x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}^{2}}\right),\quad n\in\mathbb{N}^{+}\cup\{0\},\quad 0<x_{0}<1.…
  8. 8利用公式表（MF26）中的标准级数，将 ln⁡(k+2x)n\ln(k + 2x)^n 按 xx 的升幂展开，直到 x3x^3 项，其中 kk 和 nn 为实常数，k>0k > 0，n<0n < 0 且 x>−k2x > -\frac{k}{2}。 写出第 *…
  9. 9TMJC JC1 Promo 9758/2019/Q6 已知 y=ln⁡(2−e2x)y = \ln(2 - \mathrm{e}^{2x})，其中 x<12ln⁡2x < \frac{1}{2}\ln 2，证明 ey[d2ydx2+(dydx)2]=−4e2x.\mathrm{e}^y \left[ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 \right] = -4\mathrm{e}^{2x}.…
  10. 10使用常用级数，求 11−a2x2\dfrac{1}{\sqrt{1 - a^2 x^2}} 的麦克劳林级数展开式，展开到包含 x4x^4 的项为止，其中 aa 是正常数。并求出使该展开式成立的 xx 的取值范围（用 aa 表示）。 使用常用级数…