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运动学应用

微分与积分在直线运动质点的位移、速度和加速度问题中的应用

这个知识点的练习题

1一只鸟停在离地面 20 米高的垂直电线杆顶部 $T$ 处，从地面上的一点 $O$ 仰望 $T$ 处鸟的仰角为 $45^\circ$ 。这只鸟用了一秒钟的时间，以恒定速度水平飞行，从 $T$ 飞到远离 $O$ 的点 $B$ ，整个飞行过程中保持离…
2一质点从点 $O$ 由静止出发并沿直线运动，其速度 $v$ m/s 由 $v = 24t - 6t^2$ 给出，其中 $t$ 是其运动开始后的时间（以秒为单位）。求质点瞬时静止时的 $t$ 值。质点何时会返回其起点？判断质点在 2 秒…
3一名驾驶员以恒定速度 V m/s 行驶，经过一个固定点 X 并看到前方车辆很少。他踩下油门，随后他的速度 v m/s 由 $v = 60e^{t/6}$ 给出，其中 $t$ 是通过 X 后的时间（以秒为单位）。当他通过点 Y 时，他的速度已…
4一个质点 P 在距离定点 O 处 3 m 的位移处开始沿直线运动，初始速度为 8 m/s。质点在运动 $t$ 秒后的速度 $v$ m/s 由 $v = 5\cos t + 2\sin t + c$ 给出。求 $c$ 的值。求质点的初始速…
5一个质点 $P$ 沿直线运动，在通过定点 $O$ 后的 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = 3t^2 + kt + 18$ 给出，其中 $k$ 为常数。当 $t = 1$ 时，质点的加速度为 $-9$ m/s $^2$ 。证明…
6一质点在直线上运动，使得在离开固定点 $O$ 之后 $t$ 秒，其速度 $v$ 由 $v = \frac{36}{(t-3)^2} - 9$ 给出。求质点的初始加速度。质点瞬时静止时 $t$ 的值。质点在头 2 秒内运动的总路程。
7一个质点通过一个固定点 $O$ 并沿直线运动，在离开 $O$ 点 $t$ 秒后，其速度 $v\text{ m/s}$ 由 $v = \frac{3}{t+2} - \frac{t+2}{3}$ 给出。该质点在 $P$ 点达到距离 $O$ 的…
8一个质点在直线上运动，其速度 $v\text{ m/s}$ 由 $v = 9\sin\left(\frac{t}{2}\right)$ 给出，其中 $t$ 是通过固定点 $O$ 之后的秒数。求质点在离开 $O$ 后首次瞬时静止时的 $t$ …
9 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 和 $S$ 是位于一个岛上的四个村庄，其中 $Q$ 位于 $R$ 的正北方。 $PQ = 924\text{ m}$ ， $QR = 640\text{ m}$ ， $PR = 1124\text{ m}$ ， $RS = 583\text{ m}$ …
10一质点 P 沿水平直线运动，在运动开始 $t$ 秒后，它相对于固定点 O 的位移 $s$ m 由下式给出： $s = t^3 + 5t^2 - 2t + 4.$ 用 $t$ 表示 P 的速度。第二个质点 Q 与 P 在同一时刻开始运动…
11一个质点在直线上运动，其速度 $v$ m/s 由 $v = t^2 - 4t + 3$ 给出，其中 $t$ 是通过固定点 $O$ 后的时间（以秒为单位）。求当 $t = 1$ 时质点的加速度。求质点瞬时静止时 $t$ 的值。求质点静止…
12一个质点沿直线运动，在离开固定点 $O$ 后 $t$ 秒时，其速度 $v\text{ m s}^{-1}$ 由 $v = t^2 - 2kt - 6k$ 给出，其中 $k$ 为常数。质点的最小速度发生在 $t = 2$ 时。证明 $k = 2$ …
13一质点沿直线运动，其初始速度为 21 cm/s。在 $t$ 秒后，其加速度 $a$ cm/s $^2$ 由 $a = 2t - 10$ 给出。当 $t = 0$ 时，它相对于固定点 $O$ 的位移 $s$ cm 为 4 cm。求该质点在头…
14一名骑行者从家 $O$ 出发沿一条笔直的道路运动。他的速度 $v\text{ m/min}$ 由 $v = 25 + 10t - 3t^2$ 给出，其中 $t$ 是离开 $O$ 后的时间（以分钟为单位）。计算当骑行者瞬时静止时的加速度，…
15在 $\left(x + \frac{k}{x}\right)^5$ 的二项式展开式中（其中 $k$ 是正整数）， $\frac{1}{x^3}$ 和 $\frac{1}{x}$ 的系数相同。求 $k$ 的值。在不展开所有项的情况下，解释为…
16一个质点 P 从固定点 O 处由静止出发并沿直线运动。通过 O 点 $t\ \text{s}$ 后，质点的速度 $v\ \text{ms}^{-1}$ 由 $v = 8t - ct^{3}$ 给出，其中 $c$ 是一个正常数。 $2$ 秒后质…
17努鲁尔（Nurul）以恒定速度从城镇 $A$ 旅行到城镇 $B$ 用了 2.5 小时。在返程中，她将恒定速度提高了 4 km/h，用时减少了 15 分钟。证明她从城镇 $A$ 到城镇 $B$ 的行驶速度为 36 km/h。答假设…
18一个质点沿直线运动，在经过定点 $O$ 后的 $t$ 秒时，它相对于 $O$ 的位移为 $s$ 米。质点的速度 $v\ \mathrm{ms}^{-1}$ 满足 $v = 6\cos 4t$ 。写出质点的初速度。求当质点的加速度等于 $8\ \mathrm{ms}^{-2}$ …
19质点 $P$ 沿直线运动，其速度 $v$ m/s 由 $v = 4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right) - 1$ 给出，其中 $t$ 是通过固定点 O 后的时间（以秒为单位）。求： $P$ 的初速度，加速度首次达…
20一个沿直线运动的质点，以 $4\text{ m/s}$ 的速度通过一个固定点 $O$ 。在通过 $O$ 点 $t$ 秒后，其加速度为 $(6t - 8)\text{ m s}^{-2}$ 。求质点的最小速度，质点第一次达到瞬时静止的时间，…
21一个质点 $P$ 沿直线运动，在离开定点 $O$ 后的 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = 10e^{-2t} - 3$ 给出。求 $P$ 的初速度。求当 $t = 1$ 时 $P$ 的加速度。求当 $P$ 处于瞬时静…
22一个质点从点 P 向点 O 运动。在通过点 P 之后 $t$ 秒，质点的速度可以用公式 $v = (k - 2t)^n$ 来建模，其中 $k$ 和 $n$ 是常数。当 $t = 3.5$ 时，质点的速度为 27 m/s；当 $t = 8$ …
23一座半径为 15 m 的摩天轮每 3 分钟旋转一周。乘客在摩天轮的最低点上车，该点距离地面 1 m。假设乘客在上车点登车后摩天轮开始旋转。乘客登车 $t$ 分钟后距离地面的高度 $h$ m 可以用如下方程表示： $h = - a \cos b t + c.$ …
24一辆在一条水平直路上来回行驶的踏板车以 $p\ \text{m s}^{-1}$ 的速度通过一个固定点 O。通过 O 点后 $t$ 秒，该踏板车的速度 $v\ \text{m s}^{-1}$ 由以下公式给出： $v = 7 - 8\sin \tfrac{1}{3}t.$ …
25图示为一辆汽车行驶过程的速度-时间图像。求 $t = 8$ 时汽车的速度。答案 ... m/s 求 $t = 8$ 时汽车的加速度。答案 ... m/s^2 求这次行驶的总路程。答案 ... m 在下方网格中补全这次行驶的路程-时间…
26一个质点在一条直线上运动，其上有一固定点 $O$ 。质点的速度 $v$ m/s 由 $v = \dfrac{25}{2t+1} + 10$ 给出，其中 $t$ 是通过 $O$ 后的时间（以秒为单位）。解释为什么该质点从未改变其运动方向，并且…
27一个质点 $X$ 沿直线运动，在离开定点 $O$ 之后 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = \frac{1}{2}t^2 - t - 4$ 给出。计算当速度最小时，质点 $X$ 的位移。求质点改变运动方向的时刻。求在前…
28一个质点沿直线运动，在经过定点 $O$ 之后 $t$ 秒，其加速度 $a\text{ ms}^{-2}$ 由 $a = -12e^{2t}$ 给出。初始速度为 $9\text{ ms}^{-1}$ 。证明该质点在 $t = \frac{1}{2}\ln\frac{15}{6}$ …
29一质点从点 O 出发并在一条直线上运动，其速度 $v$ m/s 由 $v = 5 - e^{3-2t}$ 给出，其中 $t$ 是离开 O 后的时间（以秒为单位）。求质点瞬时静止时的 $t$ 值。计算质点在第一秒内行驶的距离。解释为什么…
30一个质点沿直线运动，通过固定点 $O$ 之后 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = 22 + 7t - 2t^2$ 给出。质点在 $P$ 处瞬时静止。求：加速度为零时质点的速度，质点在 $P$ 处时的 $t$ 值，距离…
31一质点从定点 $O$ 由静止开始沿直线向点 $A$ 运动。在离开 $O$ 点 $t$ 秒后，其速度 $v$ m/s 由 $v = 6 - 4e^{-2t}$ 给出。当 $t = \ln 2$ 时，质点到达 $A$ 。求质点在 $O$ 处的…
32一个质点在直线上运动，其离开固定点 $O$ 之后 $t$ 秒的速度 $v\text{ ms}^{-1}$ 由 $v = 10\left(3 - \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}t}\right)$ 给出。求当 $v = 23$ …
33一质点从 $A$ 点由静止开始运动，并在 $B$ 点停止。它从 $A$ 运动到 $B$ 的速度（单位：m/s）由方程 $v = 10t - \frac{1}{2}t^2$ 给出，其中 $t$ 是从 $A$ 开始计时的秒数。证明该质点的速度…
34一辆自行车从点 $A$ 由静止出发，沿直线运动，直到在点 $B$ 停止。在运动过程中，其速度 $v$ m/s 为 $v = 12t - \frac{3}{2}t^2$ ，其中 $t$ 是离开 $A$ 后的时间（秒）。求该自行车从 $A$ 到…
35一个质点在直线上运动，使得在离开固定点 O 后 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = 16\bigl(2e^{-2t} - e^{-t}\bigr)$ 给出。求：质点到达距离 O 最远处的时间。距离 O 最远距离的值。质…
36一粒子沿直线运动，在通过一固定点 $O$ 时的速度为 3 m/s。粒子在通过 $O$ 点 $t$ 秒后的加速度 $a$ m/s $^2$ 由 $a = -e^{-0.3t}$ 给出。该粒子在点 $P$ 处瞬时静止。证明当 $t = \frac{10}{3} \ln 10$ …
37质点 P 沿直线运动并经过定点 O，其速度 $v$ m/s 由 $v = t^2 - 5t + 4$ 给出，其中 $t$ 是通过 O 点后的时间（以秒为单位）。求质点瞬时静止时 $t$ 的值。求质点回到 O 点时 $t$ 的值。求质点…
38电脑屏幕上的一个光点沿直线运动并经过定点 $A$ 。在经过 $A$ 之后 $t$ 秒内它所运动的距离 $d$ 米由以下公式给出： $d = t^3 - 6t^2 + 9t \text{ for } t \ge 0.$ 求光点在经过 $A$ …
39一个质点 P 沿直线运动，在时间为 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由下式给出： $v = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}t + \dfrac{\pi}{6}\right)$ 。 P 相对于固定点 O 的初始位移为 $\dfrac{1}{\pi}$ …
40图中显示了一个以 $O$ 为圆心的圆，该圆穿过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 和 $E$ 。 $CG$ and $FG$ 分别是圆在点 $C$ 和 $A$ 处的切线。已知角 $OAB = 56^\circ$ ，角 $BDE = 78^\circ$ …
41在直线上运动的质点，通过定点 $O$ 后 $t$ 秒的速度 $v\text{ ms}^{-1}$ 由 $v = \frac{3}{t+1} - \frac{t+1}{3}$ 给出。已知质点在点 $A$ 处瞬时静止。求到达点 $A$ 所需的…