列微分方程

现实问题与导数的代数转译

我们在微积分中已经学过：导数 $\frac{dy}{dt}$ 的几何意义是切线斜率，物理意义则是量 $y$ 随时间 $t$ 的瞬时变化率。

列微分方程，本质上就是把文字叙述中的动态规律翻译成包含导数的等式。

• 状态量：用变量（如 $y, N, T$）表示系统的当前状态。
• 变化的快慢：用导数（$\frac{dy}{dt}$）代表瞬时增加或减少的速率。

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常用比例关系的代数翻译对照

在实际问题中，“变化率”往往与系统的当前状态存在正比、反比或线性关系：

• 与自身成正比（如不受限的人口增长、放射性衰变）：
  $\text{增长：} \frac{dy}{dt} = ky \quad (k > 0) \qquad \text{衰减：} \frac{dy}{dt} = -ky \quad (k > 0)$
• 与差值成正比（如物体冷却速率与温差成正比）：
  $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_e) \quad (k > 0,\; T_e \text{ 为环境温度})$
• 与自身及剩余空间成正比（受容纳量上限 $K$ 限制的逻辑斯蒂增长）：
  $\frac{dy}{dt} = ky(K - y) \quad (k > 0)$

核心原则：明确常数 $k$ 的物理符号设定。若已说明为“减少/衰减速率”，列方程时应主动赋予负号，确保物理方向正确。

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动态直观：增长与衰减的切线特征

变化率大小直接决定了曲线在任意点处的陡峭程度：

• 左图：随着 $y$ 增大，斜率 $\frac{dy}{dt}$ 逐渐变大，曲线呈凹形加速上升。
• 右图：随着 $y$ 减小，斜率的绝对值逐渐变小，曲线最终逐渐平缓趋于 $0$。

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例题精讲：药物代谢动力学建模（题意）

【题目】
某病人体内某种药物的质量为 $M(t)$（单位：$\text{mg}$），$t$ 表示时间（小时）。
已知该药物以恒定速率 $6\text{ mg/h}$ 通过静脉滴注输入体内；同时，体内的肾脏排泄机制使药物被持续清除，其清除速率与当前体内的药物质量 $M(t)$ 成正比（比例常数为常数 $k > 0$）。
试建立关于 $M(t)$ 的微分方程。

模型分析思路：系统总质量的瞬时净变化率 = 流入速率 $-$ 流出速率。

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例题精讲：代数表达与易错提醒（求解）

分步推导：

1. 净变化率：体内药物的净变化速率为导数 $\frac{dM}{dt}$。
2. 流入与流出：
   • 输入速率为常数 $+6$；
   • 排出速率为 $k M$（由物理含义，流出导致减少，贡献为 $-k M$）。
3. 建立等式：
   $\frac{dM}{dt} = 6 - kM$

易错提醒：
题目若提到“排出速率为 $kM$”，该量本身是正的大小（非负速率）。代入总净变化率时应用“流入减流出”，切勿写成 $6 - (-kM)$，否则在物理上会导致药物越排越多的悖论。