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导数作为变化率

这个知识点的练习题

1在三角形 $ABC$ 中， $AB = x\ \text{cm}$ ， $AC = 3x\ \text{cm}$ ，且角 $BAC = \dfrac{2\pi}{3}$ 。如果 $x$ 以 $0.5\ \text{cm/s}$ 的速率增加，求当 $x = 4$ …
2容器中液体的体积 $V\ \text{m}^3$ 由下式给出： $V = 0.05\bigl[(3x+2)^3 - 8\bigr],$ 其中 $x$ 是液体的深度（以米为单位）。液体以 $0.081\ \text{m}^3/\text{s}$ …
3已知 $y = \frac{4}{5}\left(\frac{x}{12} - 1\right)^6$ 且 $x$ 和 $y$ 都随时间变化，当 $y$ 的变化率是 $x$ 的变化率的 $12\frac{4}{5}$ 倍时，求 $y$ 的值…
4当容器中液体的高度为 $h$ m时，液体的体积为 $V\text{ m}^3$ ，其中 $V = 0.06 \left[ (4h + 1)^3 - 7 \right] \text{ 且 } h \ge 0.25$ 求 $\frac{\text{d}V}{\text{d}h}$ …
5一条曲线的方程为 $y = x^2 + x + 2k - 4$ ，一条直线的方程为 $y - 2x = k$ ，其中 $k$ 为常数。求使直线和曲线不相交的 $k$ 的取值集合，并在数轴上表示此集合。已知方程为 $y = ax^2 + 8x + c$ …
6水泥以 $36\pi\ \text{cm}^3/\text{s}$ 的恒定速率注入一个空的正圆锥形模具中。圆锥的高度始终是其半径的两倍。证明 1.5 分钟后圆锥的半径大约为 $16.94\ \text{cm}$ 。 [半径为 $r$ 且高度…
7一条曲线的方程为 $y = \frac{4}{\sqrt{x+3}}$ 。一个点 $(x, y)$ 正沿着该曲线运动。求当 $y$ 坐标减少的速率是 $x$ 坐标增加的速率的两倍瞬间该点的坐标。
8一个质点在一条直线上运动，其上有一固定点 $O$ 。质点的速度 $v$ m/s 由 $v = \dfrac{25}{2t+1} + 10$ 给出，其中 $t$ 是通过 $O$ 后的时间（以秒为单位）。解释为什么该质点从未改变其运动方向，并且…
9变量 $x$ 和 $y$ 增加，且满足当 $x = 3$ 时， $y$ 随时间的变化率是 $x$ 随时间的变化率的三倍。已知 $y = k\sqrt{3x+7}$ ，其中 $k$ 是常数，求 $k$ 的值。一种放射性样品的质量为 $m$ 克…
10液体以 15 cm $^3$ /s 的恒定速率注入一个容器中。当容器内液体的深度为 $x$ cm 时，容器内液体的体积 $V$ cm $^3$ 由下式给出： $V = \frac{1}{4}x(x + 16).$ 当 $V = 20$ 时，求…
11当上述半球形碗中的水深为 $x$ cm 时，水的体积 $V\text{ cm}^3$ 由 $V = \frac{1}{3}\pi x^2 (18 - x)$ 给出。起初碗是空的。以恒定的速率向碗中注水 9 秒后，水深为 4.5 cm。用…