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多项式的共轭复根

实系数多项式方程的共轭复数根。

这个知识点的练习题

  1. 1已知 z=2−iz = 2 - \text{i} 是方程 4z4−12z3+17z2+pz+q=04z^4 - 12z^3 + 17z^2 + pz + q = 0 的一个根，其中 pp 和 qq 是实数，求 pp 和 qq 的值。 利用所求得的 pp 和 qq 的值，…
  2. 2方程 2z4−14z3+33z2−26z+p=0, where p is a constant2z^4 - 14z^3 + 33z^2 - 26z + p = 0\text{, where } p \text{ is a constant} 的一个根是 3+i3 + \mathrm{i}。 仅根据上述信息，一名学生声称该…
  3. 3回答本题时请勿使用计算器。 已知 x=1+3ix = 1 + 3\mathrm{i} 是方程 x3+ax2+18x+b=0x^3 + ax^2 + 18x + b = 0 的一个根，求实数 aa 和 bb 的值以及其余的根。 复数 zz 和 ww 满足…
  4. 4方程 2z4−14z3+33z2−26z+p=0，其中 p 是常数2z^{4} - 14z^{3} + 33z^{2} - 26z + p = 0\text{，其中 } p \text{ 是常数} 的一个根为 3+i3 + \mathrm{i}。 仅根据上述信息，一名学生声称该方程有一个根为…
  5. 5函数 f\text{f} 的定义为 f(z)=z4+Az3+Bz2+Cz+45\text{f}(z) = z^4 + Az^3 + Bz^2 + Cz + 45，其中 AA、BB 和 CC 是实数。已知 2+i2 + \text{i} 是 f(z)=0\text{f}(z) = 0…
  6. 6方程 z3−2z+k=0z^{3}-2z+k=0（其中 kk 是实常数）有一个根为 z=1+aiz = 1 + ai，其中 aa 是正实常数。 推导出另一个用 aa 表示的根。 求出 aa 和 kk 的值，写出计算过程。 由此求在 Argand 图（阿…
  7. 7复数 zz 随 tt 变化，满足 z=2cos⁡t+i(3sin⁡t),where 0≤t<2π.z = 2\cos t + \mathrm{i}(3\sin t), \quad \text{where } 0 \le t < 2\pi. 令 x=Re(z)x = \mathrm{Re}(z) 且 y=Im(z)y = \mathrm{Im}(z)…
  8. 8解答本题时请勿使用图形计算器。 复数 ww 是方程 z4+az3+46z2+bz+125=0,z^4 + a z^3 + 46 z^2 + b z + 125 = 0 , 的一个根，其中 a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}。 证明因式 z−wz - w 与 z−w∗z - w^*…
  9. 9方程 2z4−14z3+33z2−26z+p=0,2z^{4} - 14z^{3} + 33z^{2} - 26z + p = 0, 其中 pp 为常数，有一个根为 3+i3 + i。 仅根据上述信息，一名学生声称该方程有一个根为 3−i3 - i。请说明理由，解释为什么该学生…
  10. 10三次方程 x3+ax2+bx+c=0x^3 + ax^2 + bx + c = 0（其中 aa, bb 和 cc 是常数）有根 3+i3 + \mathrm{i} 和 22。 一位 JC2 学生说第三个根是 3−i3 - \mathrm{i}。指出该学生为了…
  11. 11已知 f(x)=2x6−4x4−6x2−7\mathrm{f}(x) = 2x^6 - 4x^4 - 6x^2 - 7。图示为 x≥0x \ge 0 时方程为 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的曲线。该曲线与正 xx 轴交于 x=αx = \alpha。 求 α\alpha…
  12. 12复数 zz 满足 az2+bz+a=0az^2 + bz + a = 0，其中 aa 和 bb 是实常数。已知 z=z0z = z_0 是该方程的一个解，其中 Im(z0)≠0\mathrm{Im}(z_0) \ne 0。 在接下来的问题中，取 Im(z0)=12\mathrm{Im}(z_0)=\frac{1}{2}…
  13. 13方程 x3−1=0x^3 - 1 = 0 的三个不同的根记为 1,ω1, \omega 和 ω2\omega^2。 在不先显式求出 ω\omega 的情况下，证明 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0。 现在已知 0<arg⁡(ω)<π0 < \arg(\omega) < \pi…
  14. 14回答此问题时请勿使用计算器。 方程 3x3+px2+qx+3=03x^3 + px^2 + qx + 3 = 0（其中 pp 和 qq 是实数）的其中一个根是 1+2i1 + \sqrt{2}\mathrm{i}。求其他根以及 pp 和 qq 的值。…
  15. 15方程 z4−4z3+az2+bz+78=0z^4-4z^3+az^2+bz+78=0 的一个根为 3+2i3+2i，其中 aa 和 bb 为实数。求 aa 和 bb 的值。由此求方程的其他根，并给出其精确形式。
  16. 16求形式为 x+iyx+iy 的复数 zz，其中 x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}，满足 3izz∗−1+2i=−i\dfrac{3i z}{z^{*}-1+2i} = -i。[注：z∗z^{*} 表示 zz 的共轭复数。] 方程 z2+z+p=0z^{2}+z+p=0…
  17. 17方程 z3+az2+bz+c=0z^3 + az^2 + bz + c = 0 的其中两个根为 3ei(−23π)3\text{e}^{\text{i}\left(-\frac{2}{3}\pi\right)} 和 −2-2。 已知 aa、bb 和 cc 是整数常数，求…
  18. 18多项式 P(z)\text{P}(z) 由 z3−8z+az^3 - 8z + a 给出，其中 aa 是一个实常数。已知 3+i\sqrt{3} + \text{i} 是方程 P(z)=0\text{P}(z) = 0 的一个根，求方程 P(z)=0\text{P}(z) = 0…
  19. 19[剑桥/9709/2009] 复数 −2+i-2 + i 记为 uu。 已知 uu 是方程 x3−11x−k=0x^3 - 11x - k = 0 的一个根，其中 kk 为实数，求 kk 的值。 写出该方程的另一个复数根。 求 uu 的模和辐…
  20. 20函数 f 的定义为 f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其中 a,b,ca,b,c 和 dd 是实数。 已知 1−2i1-2i 和 −1-1 是 f(x)=0f(x)=0 的根，用 aa 表示 bb、cc 和 dd。 若改为已知 a=2a = 2…
  21. 21回答本题时请勿使用计算器。 方程 2z3+5z2+pz+q=02z^3 + 5z^2 + pz + q = 0 有一个根 z=−1+iz = -1 + \mathrm{i}，其中 pp 和 qq 是实常数。 求 pp 和 qq 的值以及该方程的所有其他根。
  22. 22已知方程 z4−z3−9z2+sz+t=0z^4 - z^3 - 9z^2 + sz + t = 0 的一个根是 1+2i1 + 2\text{i}，其中 ss 和 tt 为实数。求该方程的其他根以及 ss 和 tt 的值。 设复数 w=a+ibw = a + \text{i}b…