目前市场上有 3 家共享单车公司。对于每次骑行，$\alpha$-bike 按每 5 分钟或不足 5 分钟为一个计费单位进行收费，$\beta$-bike 按每 10 分钟或不足 10 分钟为一个计费单位进行收费，而 $\mu$-bike 按每 15 分钟或不足 15 分钟为一个计费单位进行收费。Rebecca 每个月都会骑乘每家共享单车公司的单车各一次。下表显示了 Rebecca 每次骑行所记录的时间以及她每个月的总支出。为了庆祝公司成立一周年，$\mu$-bike 在 2017 年 2 月和 3 月的价格在紧接前一个月价格的基础上打了 95 折（即降价 5%）。

	2017 年 1 月	2017 年 2 月	2017 年 3 月
$\alpha$-bike	25 分钟	17 分钟	36 分钟
$\beta$-bike	30 分钟	10 分钟	39 分钟
$\mu$-bike	15 分钟	44 分钟	33 分钟
总支出	$5.70	$5.72	$9.71

确定哪家共享单车公司对于 40 分钟的骑行提供最便宜的费率（不包含任何折扣）。请清楚地写出你的论证过程。

1. Set up variables and count the number of charged blocks for each ride

Let $a, $b, $m be the (January, un-discounted) charge per block for $\alpha$-, $\beta$- and $\mu$-bike respectively. Since each company charges per block 'or part thereof', round each time up to the next whole block:

$\alpha$ (per 5 min): $25\to5$, $17\to4$, $36\to8$ blocks.
$\beta$ (per 10 min): $30\to3$, $10\to1$, $39\to4$ blocks.
$\mu$ (per 15 min): $15\to1$, $44\to3$, $33\to3$ blocks.

2. Form a system of equations including the monthly 5% discount on μ-bike

$\mu$-bike rate: January $m$, February $0.95m$, March $0.95^2m=0.9025m$.

Jan: $5a+3b+m=5.70$
Feb: $4a+b+2.85m=5.72$
Mar: $8a+4b+2.7075m=9.71$

3. Solve the system for the per-block rates

Using a graphing calculator to solve the $3\times3$ system:
$a\approx0.4079,\quad b\approx0.8402,\quad m\approx1.1397.$

4. Cost a 40-min ride on each company and compare

Blocks for 40 min: $\alpha$: $\lceil40/5\rceil=8$; $\beta$: $\lceil40/10\rceil=4$; $\mu$: $\lceil40/15\rceil=3$.

$\alpha$: $8a\approx8(0.4079)=\char36{}3.26$
$\beta$: $4b\approx4(0.8402)=\char36{}3.36$
$\mu$: $3m\approx3(1.1397)=\char36{}3.42$

Since $\char36{}3.26<\char36{}3.36<\char36{}3.42$, $\alpha$-bike is cheapest.