【能6】巧算 .
$\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right) \times \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right) - \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right) \times \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right) = \frac{(\quad)}{(\quad)}$

1. 采用换元法，将复杂的算式代数化并进行展开与化简

观察算式结构，注意到式中多次出现连续的分数和。
设 $x = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$， $y = \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$。
则原式可表示为：
$(1 + x)(x + y) - (1 + x + y)x$
展开并去括号：
$= (x + y + x^2 + xy) - (x + x^2 + xy)$
$= y$

2. 将具体的数值代回化简后的结果中，计算出最终答案

由第 1 步化简可得，原式等于 $y$。
将 $y = \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$ 代回计算：
$y = \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20}$