一项工程，甲单独做要14天完成，乙单独做要7天完成；如果第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，…，两人这样轮流做，完成整项工程需要用多少天？

1. 确定甲、乙的工作效率及一个周期（2天）的工作量

把整项工程的工作总量看作 $1$。
甲的工作效率为 $\frac{1}{14}$，乙的工作效率为 $\frac{1}{7} = \frac{2}{14}$。
甲、乙两人按甲、乙顺序轮流做，每 $2$ 天为一个周期，一个周期内完成的工作量为：
$\frac{1}{14} + \frac{2}{14} = \frac{3}{14}$

2. 计算完整周期数及剩余工作量

计算包含的完整周期数：
$1 \div \frac{3}{14} = 4 \text{（个周期）} \dots \text{余 } \frac{2}{14}$
即经过 $4$ 个完整周期（共 $4 \times 2 = 8$ 天）后，完成的工作量为 $4 \times \frac{3}{14} = \frac{12}{14}$，剩余的工作量为：
$1 - \frac{12}{14} = \frac{2}{14}$

3. 计算剩余工作量所需天数并求出总天数

第 $9$ 天由甲做 $1$ 天，完成的工作量为 $\frac{1}{14}$。
此时还剩余工作量：
$\frac{2}{14} - \frac{1}{14} = \frac{1}{14}$
第 $10$ 天由乙做，乙完成剩余工作量所需时间为：
$\frac{1}{14} \div \frac{2}{14} = \frac{1}{2} \text{（天）}$
因此完成整项工程共需：
$8 + 1 + \frac{1}{2} = 9\frac{1}{2} \text{（天）}$