一共有5个小队，某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？

1. 设工程总量为1，表示出各个组合的工作效率

把这项工程的总工作量看作 $1$。
根据题意，可得各组合每天完成的工作量（工作效率）：

• 第一、二、三小队合干的效率为 $\dfrac{1}{12}$；
• 第一、三、五小队合干的效率为 $\dfrac{1}{7}$；
• 第二、四、五小队合干的效率为 $\dfrac{1}{8}$；
• 第一、三、四小队合干的效率为 $\dfrac{1}{42}$。

2. 通过组合叠加，整体求出第一和第三小队的效率之和

将（第一、二、三小队）、（第一、三、五小队）、（第一、三、四小队）三组的效率相加：
$\frac{1}{12} + \frac{1}{7} + \frac{1}{42} = \frac{7}{84} + \frac{12}{84} + \frac{2}{84} = \frac{21}{84} = \frac{1}{4}$

注意到这个和包含：$3 \times (\text{第一小队} + \text{第三小队}) + (\text{第二小队} + \text{第四小队} + \text{第五小队})$。
已知第二、四、五小队的效率之和为 $\dfrac{1}{8}$，代入上式得：
$3 \times (\text{第一小队} + \text{第三小队}) + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$
$3 \times (\text{第一小队} + \text{第三小队}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$
$\text{第一小队} + \text{第三小队} = \frac{1}{8} \div 3 = \frac{1}{24}$

3. 计算五个小队合干的总效率，求出完成工程所需的天数

五个小队一起合干的总效率等于（第一小队 + 第三小队）的效率加上（第二小队 + 第四小队 + 第五小队）的效率：
$\text{总效率} = \frac{1}{24} + \frac{1}{8} = \frac{1}{24} + \frac{3}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$

因此，五个小队一起合干所需的天数为：
$1 \div \frac{1}{6} = 6\text{（天）}$