24 点游戏是一种经典的数学益智游戏，给定四个正整数，通过加、减、乘、除四则运算（给定的四个正整数，每个数必须且只能使用一次，可任意添加括号），构造算式使最终结果等于 24。从 1~10 的 10 个正整数中任选一个数 $x$，与给定的三个数字 1,2,3 组合可以算出 24，那么 $x$ 的取值有 ___ 个。

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

1. 验证 $x=1$ 与 $x=2$ 是否能够算出 24

当 $x=1$ 时，四个数为 $1, 1, 2, 3$。这四个数仅用加、减、乘、除，能获得的最大整数为 $(1+1) \times 2 \times 3 = 12$；若利用除法使结果变大，除数最小也无法达到 $\dfrac{1}{8}$ 或 $\dfrac{1}{4}$（例如 $3 \div (1 - \frac{1}{2}) = 6$），无法算出 $24$。

当 $x=2$ 时，四个数为 $1, 2, 2, 3$。不含除以真分数时，最大乘积为 $(1+2) \times 2 \times 3 = 18 < 24$；若分子构造为 $12$（如 $(2+2) \times 3 = 12$），所需分母为 $\dfrac{1}{2}$，但剩余的数字只有单个 $1$，无法化为 $\dfrac{1}{2}$；若分子构造为 $6$（如 $2 \times 3 = 6$），分母需为 $\dfrac{1}{4}$，剩余数字 $1, 2$ 也无法凑出 $\dfrac{1}{4}$。因此 $x=2$ 也无法算出 $24$。

2. 对 $x=3\sim 10$ 逐一构造等于 24 的算式

对 $x \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ 分别构造算式如下：

• 当 $x=3$ 时：$(3 + 1) \times 2 \times 3 = 4 \times 6 = 24$；
• 当 $x=4$ 时：$1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$；
• 当 $x=5$ 时：$(5 - 1) \times 2 \times 3 = 4 \times 6 = 24$；
• 当 $x=6$ 时：$6 \times (3 - 1) \times 2 = 24$；
• 当 $x=7$ 时：$7 \times 3 + 2 + 1 = 21 + 3 = 24$；
• 当 $x=8$ 时：$8 \times 3 \times (2 - 1) = 24$；
• 当 $x=9$ 时：$9 \times 3 - (1 + 2) = 27 - 3 = 24$；
• 当 $x=10$ 时：$10 \times 2 + 3 + 1 = 20 + 4 = 24$。

因此，$x$ 的可能取值为 $3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$，共 $8$ 个。