一箱苹果有31个，至少拿出 个，剩下的苹果正好平均分给7个小朋友；至少再添上 个，正好平均分给8个小朋友．

1. 计算平均分给7个小朋友需要拿出的最少苹果数

根据题意，剩下的苹果正好平均分给7个小朋友，说明剩下的苹果数量是7的倍数。
我们用苹果总数除以7，求出余数：
$31 \div 7 = 4 \text{（个）} \cdots\cdots 3 \text{（个）}$
余数是3，表示多出3个苹果。因此，至少要拿出 $3$ 个苹果。

2. 计算平均分给8个小朋友需要至少再添上的苹果数

同理，要正好平均分给8个小朋友，苹果总数加上添上的个数应当是8的倍数。
我们用苹果总数除以8，求出余数：
$31 \div 8 = 3 \text{（个）} \cdots\cdots 7 \text{（个）}$
余数是7，说明还差 $8 - 7 = 1$ 个苹果就能凑成8的整倍数。因此，至少要再添上 $1$ 个苹果。